Задача Гольдбаха



С. А. Янчевский


   Жаркий летний день. В открытое окошко низкого бревенчатого дома видна немощеная, ухабистая улица, слышны возня играющих ребятишек и выкрики какого-то бродячего торговца. Высокий сутулый лысый человек в длинном зеленом сюртуке, отмахиваясь от мух и поминутно вытирая потный лоб платком, ходит по комнате. "Да, – говорит он сам себе, – теперь пора. Теперь надо поставить этот вопрос перед Академией. Мне совершенно ясно, наконец, в чем дело. Но как доказать? Как установить, что это действительно общий закон? Тут нужны, конечно, совместные усилия многих ученых и даже, наверно, на много лет... Как жаль, что я не в Петербурге сейчас. Собрались бы, сговорились. Начали бы это великое исследование. Ну ничего, напишу Эйлеру. Он как раз тот человек, который сразу схватит суть вопроса. И Ломоносову надо дать знать – Михайле Васильевичу... Напишу, напишу сегодня же..."'
   Он подходит к окну, садится на подоконник. По улице проезжает карета-возок – четверка лошадей цугом, лакей в мундире и в пудреном парике на запятках. Сквозь открытое окно в карете виден человек в шитом мундире, в больших очках: наверное, едет какой-нибудь важный чиновник. Лохматые собаки провожают карету, вертясь вокруг нее с лаем.
   "Да, – думает дальше человек в зеленом сюртуке и ворчит себе под нос. – Простые числа. Как будто из-за того, что они не делятся ни на что, кроме как сами на себя " единицы, они уже такие простые. А столько у них загадочных свойств, что лучшим умам человечества и за сотни лет в них до конца не разобраться..."
   Он выбирает на столе из связки новых гусиных перьев одно и подтачивает его бритвой. "Вот моя задача тоже. Возьмем наудачу какое-нибудь нечетное число. Ну, 77. Его можно разбить на три слагаемых: 77 = 53 + 17 + 7, и все эти три слагаемых – простые числа. Возьмем другое, опять совсем наудачу – 461, и тут 461 = – 449 + 7 + 5, и эти три слагаемые снова простые. А можно то же число разбить на три простых слагаемых еще и другим способом: 257 + 199 + 5. И так дальше. Теперь вполне для меня ясно: всякое нечетное число, большее 6, можно разбить на сумму трех слагаемых, которые являются простыми числами. Но как доказать это? Любая проба дает такой результат, но ведь никакой человеческой жизни не хватит взять да и перебрать подряд все нечетные числа. Нужно какое-то общее доказательство, а не такие пробы. Чувствую, что это мне не под силу. Может быть, Эйлер посоветует?"
   Человек садится за стол. В глазах его большое волнение. Четким почерком он выводит:
   "Петербург. Академия Наук. Его Превосходительству академику Эйлеру. Из Москвы. От академика Гольдбаха. 6 июня 1742 года".
   272 года назад Христиан Гольдбах, член Академии наук, основанной по приказу Петра I в Петербурге, послал это письмо Леонарду Эйлеру, одному из крупнейших математиков того времени, швейцарцу по рождению, также выписанному для работы в Петербургскую Академию.
   Математическая задача, о которой говорилось в письме, с тех пор так и называется – проблема Гольдбаха. Эйлер ответил, что он не может найти общего теоретического решения ее, но добавил со своей стороны, что каждое четное число должно разбиваться на сумму двух простых слагаемых, а отсюда вытекает и то, чего хочет Гольдбах. Ни одно из этих двух утверждений не было доказано ни Гольдбахом, ни Эйлером и никем другим в течение всего конца XVIII и также за весь XIX век. Все пробы разложения целых чисел на простые слагаемые всегда давали нужный результат, но доказательства того, что это применимо ко всем вообще целым числам, ко всему их бесчисленному множеству, никто не мог найти.
   Только в XX веке в СССР математикам удалось "победить" упрямую проблему Гольдбаха. Академик Иван Матвеевич Виноградов, знаменитый советский специалист по теории чисел, много лет вырабатывал очень сложные и тонкие способы, которыми можно решать подобные вопросы. И вот в 1937 году, через 193 лет после письма Гольдбаха к Эйлеру, Виноградов решил почти целиком и его задачу. Всякое достаточно большое целое нечетное число, доказал он теоретически, может быть разбито на сумму именно трех простых слагаемых. (А для небольших чисел это можно проверить путем проб.) Задача Эйлера – разбить четные числа на два простых слагаемых – еще ждет своего решения.
   Итак, самая простая с виду задача, понятная любому школьнику, оказалась настолько трудной и настолько глубокой по своему содержанию, что для решения ее потребовалось два столетия и напряжение умов лучших математиков мира.
   Впрочем, многие другие задачи теории чисел отличаются тем же самым свойством, и значительная часть их еще не решена. Укажем примеры. Число простых чисел бесконечно. Что это значит? А вот что: среди простых чисел нельзя указать самого большого. Не может быть так, что вот такое-то число, скажем, простое, а все числа большие, чем оно, – составные, т. е. уже разлагаются на простые множители. Доказательство этого было известно еще две с лишним тысячи лет тому назад. Греческий математик и философ Эвклид (жил в III веке до нашей эры) дал одно из таких доказательств*.
   Нетрудно также построить и таблицу всех простых чисел до какого-нибудь заданного числа, например таблицу простых чисел, не больших 100. Для этого выпишем все целые числа до 100. 1, 2, 3, 4, 5. . .100. Начнем исследовать эти числа сначала. Число 1 – простое, 2 – также, но числа, делящиеся на 2, – уже не простые. Поэтому из нашего ряда надо вычеркнуть все числа, делящиеся на 2, кроме самого 2. Далее число 3 – простое, но числа, делящиеся на 3, – опять составные. Вычеркнем и их. Число 4 уже вычеркнуто. 5 – простое, но числа, делящиеся на 5, снова надо убрать. Продолжая такое "просеивание", мы и получим все простые числа до 100:
   1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
   Этот способ называется решетом Эратосфена в честь древнегреческого математика Эратосфена, также изучавшего простые числа. Можно составить таблицу всех простых чисел и до 1000 и т. д. (таблицы простых чисел доведены немного за 10 000 000). Но что сказать про распределение всего бесчисленного множества простых чисел? Насчитывается 168 простых чисел, меньших 1000; число простых чисел, меньших 10 000, будет 1229; а то же количество для границы в 50 000 есть 5133. Казалось бы, в последнем случае простых чисел должно быть в 50 раз больше чем в первом. Однако их больше примерно только в 30 раз. Отсюда видно, что если брать все большие и большие числа, то количество простых чисел среди них убывает. Но по какому закону? Над открытием этого закона, так же как над проблемой Гольдбаха, работали многие математики разных стран в течение сотен лет. До сих пор он еще не установлен вполне точно. Правда, получены результаты, дающие право думать, что и в этой задаче мы приближаемся к решению.
   А вот другая подобная задача: о простых числах-"близнецах". Так называются простые числа, отличающиеся друг от друга на 2, например 3 и 5, 5 и 7, 71 и 73, 809 и 811 и т. п. Самые большие "близнецы", которые мы знаем, это 10 006 427 и 10 006 429. Но последняя это пара близнецов или нет? Неизвестно. Думают, однако, что "близнецов" бесчисленное множество, т. е. какую бы пару их ни взять, всегда можно утверждать, что это не последняя пара, а еще найдется сколько угодно следующих.
   Вот какая увлекательная наука, теория чисел, и сколько в ней трудных задач! И эти задачи важны не только по тому интересу и трудности, которые они собою представляют. Дело в том, что способы, которыми они решаются, помогают исследовать и многие важные вопросы, связанные с практической жизнью, например с кристаллографией – наукой о кристаллах, теорией вероятностей и др. Поэтому ученые, решающие основные задачи теории чисел, приносят пользу не только самой математике, но и дают возможность продвинуть вперед изучение многих вопросов физики и техники.

____________
* Приведем его в примечании. Возьмем число простых чисел. Обозначим их буквами а,в,с...d. Составим число авс...d + 1, т. е. число в виде произведения всех этих чисел плюс 1. Это число само либо простое, либо составное. Если оно простое, оно есть простое число, большее чем все числа а,в,с...d, а это противоречит нашему предположению. Если же оно составное, то спросим себя: на что оно может делиться? Оно не может делиться на а, потому что на а делится число авс...d, значит этим же свойством не может обладать наше число, на единицу большее чем а,в,с...d. По той же причине оно не может делиться на в. И так далее. Следовательно, если это число составное, то оно делится на какое-то простое число, не совпадающее ни с одним из чисел а,в,с...d. Значит, мы перечислили тут не все простые числа. Поэтому предположение, что мы знаем все простые числа и выписали их в ряд, неверно. А это и требовалось доказать.