Вероятно ли это? (о теории вероятностей)
Каждый день, рассуждая о событиях, еще не случившихся, мы с вами множество раз произносим: "Вероятно, что это случится" или "Ну, это почти невероятно". Например, заходя в какой-нибудь магазин, вы отнюдь не ожидаете, что половина встреченных вами покупателей окажется вашими знакомыми. Вы считаете это маловероятным. Но какие у вас основания думать так?
"Уцелею ли я, прыгая с крыши?"
Вероятно ли, что у двух ваших знакомых одинаковое число волос на голове? Вероятно ли, что вы доживете до 50 лет? Что вероятнее – вынуть наугад из колоды карт "пику", или же на этой странице, действуя с завязанными глазами, накрыть пальцем слово, содержащее букву "а"? Таких вопросов можно задать множество. И если некоторые из них никого не могут взволновать, зато многие другие имеют большое практическое значение.
Артиллеристу, например, важно знать "вероятность" попадания в цель. Инженер, рассчитывающий телефонную станцию или электросеть, не может не считаться с "вероятностями" того, как будет меняться нагрузка его станции в разные часы дня или в разные времена года.
Но можно ли вероятности учитывать заранее? Да, можно. В математике существует целый важный отдел: "Теория вероятностей", который занимается решением именно таких вопросов.
Что же такое "вероятность события"?
Давайте подбрасывать в воздух монету и смотреть, как она упадет на стол. Всякий сразу скажет, что тут могут быть только два случая: или монета упадет на стол кверху той стороной, где изображен герб, или той стороной, где указана стоимость монеты, – эту сторону обычно называют "решеткой" ("решкой"). Как же сосчитать вероятность того, что при бросании монеты она упадет вверх гербом? А вот как: всего в этой задаче возможны два случая: герб или решетка; эти случаи одинаково возможны, когда вы бросаете монету; нет никаких оснований думать, что имеется больше шансов очутиться наверху гербу, а не решетке. Герб наверху – один из двух таких случаев. Поэтому и считают, что при бросании монеты вероятность того, что герб окажется наверху, равна 1/2. Такова же вероятность выпадения решетки.
Ну, а если вместо монеты бросать игральную кость, на шести сторонах которой стоит или одна точка, или две точки, или, наконец, шесть точек? Сколько всего тут может быть случаев? Конечно, шесть, – и все они опять одинаково возможны. Значит, выпадение, скажем, двойки – один случай из шести одинаково возможных. Вероятность, что при бросании кости выпадет двойка, надо считать равной 1/6.
Что же, следовательно, надо делать, чтобы подсчитать вероятность события? Надо прежде всего учесть, сколько всего может быть "случаев" в том вопросе, который мы решаем. Притом эти случаи должны быть одинаково возможные и такие, что каждый раз может произойти только один из них, как при бросании кости: тут уж выпадет или двойка, или тройка, а не может выпасть и двойка и тройка сразу. Затем надо составить дробь, где в числителе будет число случаев, при которых происходит наше событие, а в знаменателе – число всех случаев в данной задаче. Эта дробь и даст вероятность события.
По этому правилу ведь и подсчитывалось, насколько вероятно, что монета упадет гербом вверх или на игральной кости выпадет двойка! Это совсем несложное правило, нужно только внимательно подсчитывать все возможные случаи. Сосчитаем теперь еще, чему равна вероятность вынуть наугад пику из колоды карт?
Карт всего 52, а пик среди них 13. Значит, всех случаев в нашей задаче 52 и они одинаково возможны – наудачу можно вынуть любую карту. Нужную нам пику мы можем вынуть в 13 случаях из 52. Какая же будет вероятность вынуть пику? Очевидно 13/52 = 1/4.
"Выну ли я пику?"
Вы, конечно, заметили, что "вероятность" обычно выражается дробью, меньшей единицы: знаменатель тут больше числителя. А может ли вероятность равняться 1 или 0? Может, но только тогда, когда мы имеем дело с событием, которое обязательно случится, или, наоборот, никак не может произойти. Когда с самолета бросают бомбу, – куда она полетит? Только и может полететь вниз: вероятность того, что она полетит вниз, есть 1.
Это – событие достоверное: только такие случаи в этом вопросе и будут – все бомбы полетят вниз. А какая вероятность выудить живую рыбу из бидона с нефтью? Вероятность этого равна 0 –это событие невозможно: таких случаев, когда оно произойдет, не может быть.
Но смотрите, не ошибитесь при подсчете числа всех одинаково возможных случаев! Тут иногда ошибались даже известные ученые. Вот какую игру придумал лет 370 тому назад француз де-Мерэ, занимавшийся теорией вероятностей. Он бросал три кости: если на всех вместе выпадет 11, он проигрывал и платил своему противнику золотой, если выпадет 12 – золотой платили ему, прочие числа очков просто не считались. Мерэ считал, что 11 и 12 могут быть получены одинаковым числом способов:
11 – 6 + 4 + 1; 6 + 3 + 2; 5 + 5 + 1; 5 + 4 + 2; 5 + 3 + 3; 4 + 4 + 3;
12 – 6 + 5 + 1; 6 + 4 + 2; 6 + 3 + 3; 5 + 5 + 2; 5 + 4 + 3; 4 + 4 + 4
"Почему он проигрывает?"
по 6 комбинаций для обоих чисел.
Но не тут-то было! Мерэ регулярно проигрывал – 12 выходило реже, чем 11. (Попробуйте сами бросать три кости, и вы убедитесь в этом на опыте.) Почему?
Загадку разъяснил Паскаль, французский физик и философ, современник де-Мерэ. Дело тут в том, что надо брать в расчет не только сумму очков на трех костях, но и то, на которой кости какое число выходит. Тогда и выйдет, что числу 11 отвечает 27 комбинаций, а числу 12 всего 25. Проделайте-ка этот подсчет сами.
Правило сложения и умножения вероятностей
Для того, чтобы решать дальнейшие задачи, надо пользоваться правилами сложения и умножения вероятностей. Будем опять бросать кость и спросим себя, какая вероятность того, что выпадет или двойка, или тройка?
Это ведь будут два случая из шести одинаково возможных. Значит, вероятность тут равна 2 /6 = 1/3. А вероятность каждого в отдельности была 1/6. Вот вам и правило сложения вероятностей – вероятность того,
что случится одно из двух событий, равна сумме их вероятностей (только тут мы говорим о таких событиях, которые не могут произойти вместе разом; в данный миг может случиться только одно из них).
"Маловероятный случай!"
Теперь давайте попробуем стрелять в цель вот такого вида.
Предположим, что нам известна вероятность попасть в первое поле (пусть она равна 15/100) и вероятность попасть во второе (напр. 22/100). Какова вероятность попасть или в первое, или во второе поле? Теперь ясно,
что она равна 15/100 + 22/100 = 37/100.
Правило умножения вероятностей читается так: вероятность, что произойдут одновременно два события, равна произведению их вероятностей. Это правило годится опять-таки не для всяких событий, а для событий независимых,
таких, в которых вероятность второго события не зависит от того, произошло или не произошло первое. Например, пусть мы вынули из колоды карту, посмотрели ее и положили обратно, а затем вынимаем вторую карту. Какая тут вероятность
вынуть два раза подряд пику? Здесь мы имеем дело с независимыми событиями: масть карты, которая вынется второй раз, не зависит от того, какая была первая, раз мы положили ее обратно. Вероятность вынуть два раза пику будет равна
произведению 1/13 x 1/13 = 1/169. А вот если мы вынутую первый раз карту отложим в сторону, число карт в колоде и число пик в ней изменится; подсчет будет более сложным.
Ну, а какова вероятность того, что, когда вы выходите на улицу, первый встречный окажется мужчиной? Можно считать, что 1/2: число мужчин и женщин в городе в среднем одинаково. А какова вероятность того, что первых 10
встречных все будут мужчины? (Надо 1/2 умножить на 1/2, еще на 1/2, и так 10 раз.)
Небольшая вероятность! Да и верно: вряд ли все 10 первых встречных окажутся мужчинами. Но тут, конечно, правило умножения вероятностей применимо только тогда, когда речь идет о случайных прохожих. А если первый из наших
встречных – офицер, ведущий целый отряд солдат, – этим правилом дальше пользоваться нельзя.
Закон больших чисел
Будем теперь на самом деле производить те опыты, о которых только что говорили выше Например, будем несколько раз подряд тянуть карту из колоды и смотреть, сколько раз выйдет пика, или бросать кость и считать число появлений двойки. А затем составим такую дробь: число раз, когда произошло интересующее нас событие, деленное на число опытов. Эту дробь можно назвать, скажем, так: "вероятность, полученная из опыта". Но как сравнить ее с математической заранее вычисленной вероятностью появления нашего события, для получения которой и опытов никаких делать не надо, а следует только подсчитать все возможные в нашей задаче случаи? Тут оказывается, что если делать очень много опытов, то мы получим число, близкое к заранее известной математической вероятности появления нашего события при каждом опыте. Если делить их очень много! В этом и состоит закон больших чисел.
Бросьте монету 1000 раз подряд. Нет ничего невозможного, что герб при этом 800 раз окажется наверху. Но так как математическая вероятность появления герба при каждом бросании есть 1/2 то куда более вероятно, что при 1000 ваших бросков число появлений герба будет близко к 500! И никто еще не наблюдал на опыте противоположного явления. Будет герб или решетка при одном бросании – это ведь случайность. Но когда случайных событий очень много, оказывается, они все же связаны определенными законами. Вот что пишет о случайности Фридрих Энгельс в своей книге "Людвиг Фейербах": "Где на поверхности господствует случайность, там сама эта случайность оказывается подчиненной внутренним скрытым законам. Все дело в том, чтобы открыть эти законы".
Еще один пример пояснит силу закона больших чисел. Когда начинается дождь, капли падают как будто случайно. Но бывает ли так, когда пройдет некоторое время, чтобы какая-нибудь площадочка случайно осталась совершенно сухой? Вряд ли вы это видели. Очевидно, большое число капель ложится уже равномерно: тут действует закон больших чисел.
Известен случай, когда в присутствии аббата Гальяни из Неаполя, ученого, много занимавшегося теорией вероятностей, некий человек кидал кость, и у него пять раз подряд выпала шестерка. "Как это может получиться?" недоумевали окружающие. "Клянусь Вакхом, кости-то фальшивые!" воскликнул ученый аббат и правильно разгадал задачу; догадливость же его основывалась на знании закона больших чисел.
"Пять раз подряд шестерка!"
Закон больших чисел был открыт более 300 лет тому назад знаменитым математиком Яковом Бернулли. В дальнейшем он был еще усовершенствован русскими учеными Чебышевым (1815–1874) и Ляпуновым (1860–1918), работавшими
в Санкт-Петербурге. Этот закон крайне важен для применения теории вероятностей на практике. Пользуясь им, можно заранее предугадывать ход многих событий, полагаясь на математические вычисления:
артиллеристы, не сделав еще ни одного выстрела, подсчитывают, сколько надо затратить снарядов для обстрела какой-нибудь позиции; электротехники заранее узнают, как будет меняться нагрузка в будущей телефонной станции.
"Бесконечно маловероятно!"
С другой стороны, в жизни встречается много событий, установить вероятность которых путем одного только математического подсчета очень трудно. И прежде всего иногда затруднительно просто разобраться в том, какие вообще в данной задаче могут быть одинаково возможные случаи. Например, вас интересует, будет ли дождь 9 июля будущего года? Какова вероятность этого? Или вам, может быть, интересно узнать, много ли у вас шансов дожить до 80 лет? Вам не удастся тут подсчитать как следует математическую вероятность; зато можно пользоваться теми числами, которые мы знаем из опыта. Узнав, что за последние 100 лет
было лишь 9 дождливых дней 9 июля, мы с достаточным правом будем считать вероятность дождя в этот день в будущем году равной 9/100. Зная, что из 10 000 людей до сих пор в среднем до 80 лет доживали 75 человек, я могу
считать вероятность, что сам доживу до 80 лет, равной 75/10000 = 3/400.
Вот какие интересные перспективы открывает теория вероятностей.
Если вас она заинтересовала, решите теперь сами еще несколько простых задач:
1. Какова вероятность того, что при одном бросании двух монет хоть один раз герб окажется наверху? Тут очень соблазнительно сказать так: всего одинаково возможных три случая: два герба, две решетки,
герб-решетка. Значит, хоть один герб будет в двух случаях из трех, и вероятность будет = 2/3. Но такое рассуждение неверно. А как получить верный ответ? Подумайте!
2. Стреляем без прицела в стенку, расчерченную вот так:
Какова вероятность попасть в черное поле?
3. Если четверо людей, в том числе я, играют в карты, то какова вероятность, что при сдаче всей колоды я получу на руки 13 пик?